M؟301=19

ریاضیات

تاريخچه هندسه

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.
در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.
یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.
براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:
هنـدسه مسطحه
هندسه فضائی.
هندسه خطی.
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است

گل ارا

+ نوشته شده در  یکشنبه بیست و ششم دی 1389ساعت 16:0  توسط یک دانش آموز  | 

اقلیدس

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

هاجر


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و نهم آذر 1389ساعت 20:39  توسط یک دانش آموز  | 

کاربرد هندسه در موسیقی و معماری

  

                                                  Pyramids  
 
     اهرام مصر
 
مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول
مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود 2800 سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.

معروف هست تالس (640-550 سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث                        (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.

augmented chords 
مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده
 
 
 
موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.

یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما" شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل 4 نیم پرده تشکیل شده است.

major and minor chords
آکوردهای بزرگ، کوچک، sus2 و sus4
 
 
شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا" اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا" نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما" می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.

مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های 2 و 4 برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟  
 
 
شهرزاد
+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 17:38  توسط یک دانش آموز  | 

کاربرد هندسه در روانشناسی


آزموني ساده: ساده ترين اشكال هندسي را به ياد بياوريد: مربع، مستطيل، مثلث، دايره، منحني پس خيلي سريع و بدون اينكه زياد به مغزتان فشار بياوريد، شكلي را انتخاب كنيد كه بيشتر از همه مي پسنديد. آزموني روانشناسي پيش روي شماست، كه با توجه انتخابتان به سرعت نشان مي دهد كه شما در زندگي چه جور آدمي هستيد و احتمال موفقيتتان در چه مشاغلي بيشتر است.

مربع: كساني اند كه در محيط پايدار بيشترين احساس آرامش را دارند و مسير كارهايشان به طور كامل آشكار است. چنين اشخاصي محافظه كارند و دوست دارند كه همه چيز مرتب و منظم باشد. وظيفه شناس اند و اگر كاري را به آنها محول كنيد، آنقدر روي آن وقت مي گذارند تا تمام شود حتي اگر كاري تكراري و طاقت فرسا باشد و مجبور شوند كه بتنهايي آن را انجام دهند.

مستطيل: پايبند بودن از اصول مشخصه آنهاست، نظم و ترتيب را دوست دارند ولي آن را با سازماندهي دقيق اجرا مي كنند اين امر سبب مي شود تا راههاي مناسبي را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسي كنند. اگر وظيفه اي را به اين اشخاص محول كنيد ابتدا آن را به خوبي سازماندهي مي كنند تا اطمينان يابند كه به طور اصولي اجرا خواهد شد.

آنهايي كه مثلث را انتخاب مي كنند: اشخاصي هدف گرايند و از برنامه ريزي قبل از انجام دادن كارها لذت مي برند و به طرح موضوع و برنامه هاي بزرگ و بلند مدت تمايل دارند اما ممكن است كه مسائل جزئي را فراموش كنند اگر كاري را بر عهده آنان بگذاريد، ابتدا هدفي را براي آن تعيين و سپس با برنامه ريزي كار را آغاز مي كنند.

آنهايي كه دايره را انتخاب مي كنند: اجتماعي و خوش صحبت اند و هيچ لحن خشني ندارند و امور را با صحبت كردن درباره آن تنظيم مي كنند و نخستين اولويتشان در زندگي ارتباطات است. مطمئن باشيد كه اگر وظيفه اي را به آنها محول كنيد آنقدر درباره آن صحبت مي كنند تا هماهنگي لازم براي به انجام رسيدن آن كار ايجاد شود.

منحني: خلاقيت در آنها موج مي زند و اغلب كارهاي جديد و متفاوتي انجام مي دهند. نظم و ترتيب برايشان كسالت آور است. اگر تكليفي را براي آنها در نظر بگيريد طرهحاي خوب و مطمئني براي آنها ابداع مي كنند.

نتيجه گيري: به طور كلي افرادي كه سه شكل اول يعني مربع، مستطيل، مثلث را انتخاب مي كنند در مسير ويژه اي حركت مي كنند و كارها را به طور منطقي و اصولي انجام مي دهند ولي ممكن است خلاقيت كمي داشته باشند گزينش دايره و منحني نشان دهنده خلاقيت و برونگرايي است چنين افرادي به موقعيتهاي جديد دسترسي پيدا مي كنند ولي چندان اصولگرا و اعتماد كردني نيستند.

كاربرد: اين آزمون براي ارزيابي افراد نسبت به موقعيت شغليشان كاربرد دارد اگر شما به شدت علاقه منديد كه كاري خاص و اصولي انجام دهيد، فردي مربع دوست مي تواند همكار خوبي برايتان باشد همچنين اينگونه افراد براي كارهاي حسابرسي هم مناسب اند. اگر كارها به سازماندهي گروهي نياز داشته باشد مثلث دوستان، در پيشبرد آنها موفق خواهند بود. اين افراد مي توانند مجري خوبي هم باشند چون اهداف را مشخص مي كنند و اطمينان مي يابند كه دستيابي به آنها ممكن است. براي هر نوع ارتباطات حضوري، افرادي كه دايره را انتخاب مي كنند بهترين اند. آنان مي توانند كارمند خوب يا مسئول پذيرش و يا فردي باشند كه به مشتريان خود خدمات مناسبي عرضه مي كنند. در آخر افرادي كه به منحني علاقه دارند هميشه طرحهاي تازه دارند و براي كار در شركتهاي تبليغاتي مناسبند
 
 
شهرزاد
+ نوشته شده در  سه شنبه نهم آذر 1389ساعت 17:47  توسط یک دانش آموز  | 

اعداد و هندسه...

چگونه به یک عدد می توان شکل هندسی داد؟؟؟؟

اگرچه اعداد شکل هندسی ندارند، اما گاهی اوقات با قراردادن ِ نقطه به جای اعداد ، می توان به آن ها شکل هندسی منظمی نسبت داد.

چند نمونه از این اعداد و اشکال را ببینید :

 

اعداد مثلثی :

 

 

 

 

اعداد مربعی :

 

 

 

اعداد پنج ضلعی :

 

 

اعداد شش ضلعی :

 

منبع:www.mathland.blogfa.com

" نسترن "

+ نوشته شده در  دوشنبه هشتم آذر 1389ساعت 15:25  توسط یک دانش آموز  | 

هندسه زندگی...

دلم میخواهد زندگی را از زاویه ای دیگر ببینم.
دوست دارم نگاه هندسی به زندگی داشته باشم و محیط پیرامون خود را با دیدی نو محاسبه کنم.
دلم میخواهد مساحت عمرم را بسنجم و به شخصیتم شکل مناسبی بدهم.
میتوانم زندگی را مربعی فرض کنم که اضلاع ان را ایمان- هدف -امید  و عشق تشکیل داده اند یا مثلثی که زاویه های ان علم-ایمان و انسانیت باشد.
میتوانم مرکز دایره حیاتم را انتخابهای خوب قراردهم.
چرا سطحی بیندیشم ؟ وقتی دوست دارم به افکار و زندگیم عمق دهم و میتوانم حجم معنویتم را افزونسازم. من میتوانم از نقطه های خط عمرم خطی مستقیم در جهت خوبی و مهربانی ترسیم کنم.
من دلم میخواهد زندگیم بر قاعده پاکی استوار باشد.به موازات حق پیش بروم و زاویه دیدم باز باشد.
وقتی این قدر توانایی دارم چرا شکل غیر منتظم باشم و از میان خطوط خط های شکست منحنی را برگزینم؟
من میتوانم منشوری باشم شفاف که از هر سو جلوه ای خاص دارد.
منشوری که نور را به راحتی تجزیه میکند و فضا را با رنگهای دلپذیر و جذاب محبت و امیدِِ وعشق وعرفان می آراید...!!!

 

" نسترن "

+ نوشته شده در  یکشنبه هفتم آذر 1389ساعت 15:55  توسط یک دانش آموز  | 

نوار موبیوس

                                                                         

  
 
 
 

    

 

 

 

 

 Go to fullsize imageGo to fullsize imageGo to fullsize image

نوار موبیوس نواری است که دو لبه آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌ای را بوجود می‌آورد . البته باید یک لبه انتهایی قبل از اتصال به لبه دیگر نیم دور چرخانده شود.این نوار مستقلا و به طور جداگانه توسط دو ریاضیدان آلمانی به نامهای آگوست فردینانند موبیوس (August Ferdinand Mobius)و جان بندیکت در سال 1858 کشف و به ثبت رسید .

اگر با یک خودکار بر روی نوار موبیوس خطی در طول نوار بکشیم و ادامه دهیم این خط دوباره به نقطه شروع باز می‌گردد و هر دو طرف نوار خط کشیده می‌شود.در واقع نوار موبیوس مثالی از یک رویه بدون جهت (جهت ناپذیر) است .هر گاه بخواهیم این نوار را در امتداد طولش ببریم به جای اینکه دو نوار بدست بیاوریم یک نوار بلندتر و با دو چرخش بدست میاوریم . با ادامه این کار یعنی بریدن پیاپی نوار و در انتهای کار تصاویر غیر منتظره‌ای ایجاد می‌شود که به حلقه‌های پارادرومویک (paradromic rings) موسومند . تمامی این کارها بطور شهودی قابل اجرا هستند .

 خاصیتی که در این نوار توجه موبیوس را جلب کرد، یک طرفه و یک لبه بودن آن بود. این نوار عجیب تنها یک رو دارد، یعنی یک مورچه که در نقطه ای از یک نوار موبیوس کاغذی ایستاده می تواند بدون رد شدن از لبه کاغذ به پشت آن نقطه (در سمت دیگر کاغذ) برسد.

در حقیقت این نوار اصلا پشت ندارد!

  (کیانا )

+ نوشته شده در  چهارشنبه بیست و ششم آبان 1389ساعت 23:42  توسط یک دانش آموز  | 

نظریه مجموعه ها

نظریه مجموعه ها
نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌های آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به کلی و آشنایی عمومی با آنها که هر کس که می‌خواهد وارد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها (Naive set theory)
مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی شد، همچون پارادکس راسل، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست تسرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که این به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها یا Axiomatic set theory انجامید.

اصل موضوع زوج‌سازی

اصل موضوع زوج سازی در ریاضیات بیان می‌کند به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

 [ویرایش] مقدمه

ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید که آیا به قدر کافی مجموعه وجود دارد که بتوان اطمینان یافت که هر مجموعه‌ای عضو مجموعهٔ دیگر است؟ یا دقیق‌تر، آیا برای هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که شامل آن دو مجموعه مفروض باشد؟ در مورد چند مجموعه چه‌طور؟

برای برادشتن اولین قدم برای پاسخ به این سوالات در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها به اصل موضوع مجموعه ساز دیگری نیاز داریم که اصل موضوع زوج سازی (Axiom of paring) نام دارد.

[ویرایش] اصل موضوع زوج سازی

این اصل بیان می‌کند:

یا به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

توجه داشته باشید که اصل موضوع زوج سازی بیان می‌کند A شامل a و b است ولی نمی گوید A دقیقاً شامل a و b است، اما با استفاده از اصل موضوع تصریح می‌توان مجموعه‌ای ساخت که دقیقاً شامل a و b باشد.

اگر a و b دو مجموعه باشند برطبق اصل موضوع زوج سازی مجموعه‌ای چون A موجود است که شامل a و b است. حال اگر اصل موضوع تصریح را بکار برده و مجموعه {x∈A:x=a∨x=b} را در نظر بگیریم این مجموعه زیرمجموعه‌ای از A است که فقط شامل دو عضو a و b است و عبارت است از {B={a,b.

پس در بیان نتیجه‌ای از اصل موضوع زوج سازی می توان گفت: برای هر دو مجموعه دلخواه a و b مجموعه‌ای چون A وجود دارد که دقیقاً شامل aو b باشد یا {A={a,b.

اصل موضوع گسترش یکتا بودن مجموعه فوق را تضمین می‌کند و لذا یک مجموعه وجود دارد که دقیقاً شامل a و b است و همانطور که در قبل مشاهده کردید آن را به صورت {a,b} نشان می‌دهیم و به آن زوج نامرتب a و b می‌گوییم.

حال امکان این را داریم که به برخی از سوالاتی که در ابتدا مطح کردیم پاسخ دهیم. فرض کنید a مجموعه‌ای دلخواه باشد. در این صورت می‌توان اصل موضوع زوج سازی را در مورد a و a بکار برد و زوج نامرتب {a,a} را تشکیل دارد که همان مجموعه تک عضوی {a} است که در این حالت داریم {a∈{a. پس پاسخ این سوال که آیا هر مجموعه عضو مجموعه‌ای دیگر است مثبت است.

حال به نظر شما برای هر تعداد مجموعه دلخواه مجموعه‌ای هست که شامل آن مجموعه‌ها باشد؟

حال ممکن است این سوال برای خواننده کنجکاو پیش بیاید که آیا واقعاً نیازی به تعریف اصل موضوع زوج سازی وجود دارد؟ آیا نمی‌توان با استفاده از اصل موضوع تصریح و بیان یک شرط مجموعه {a,b} را تولید کنیم؟ بیاید به این سوال پاسخ دهیم!

فرض کنید (S(x گزاره نمای «x=a یا x=b» باشد(همانند قبل a و b مجموعه‌اند). می‌توان اصل موضوع زوج سازی را به این صورت تعریف کرد: « مجموعه‌ای چون B وجود دارد که x∈B اگر و فقط اگر x=b یا x=a » (*) در این صورت داریم {B={x:x=a∨x=b.

اما هنگامی که اصل موضوع تصریح برای مجموعه‌ای مفروض چون A به کار می‌رود وجود مجموعه‌ای چون B را بیان می‌کند که: x∈B اگر و فقط اگر x∈A و (x=a یا x=b)(**). که در این صورت داریم{B={x∈A:x=a∨x=b.

حال ببینیم بین (*) و (**) چه رابطه‌ای وجود دارد؟

در حقیقت با توجه به اصل موضوع تصریح مشخص می‌شود که رابطه (*) حالت کاذبی از (**) است چراکه در آن شرط (S(x در مورد یک مجموعه مشخص به‌کار نرفته در صورتی که همانطور که در اصل موضوع تصریح بیان شده است برای تعیین یک مجموعه تنها بیان یک خاصیت چون (S(x کافی نمی‌باشد و این خاصیت باید برای اعضای یک مجموعه بکار رود تا مجموعه‌ای جدید را مشخص کند.

پس را بطه (*) یک مجموعه را مشخص نمی‌کند و {B={x:x=a∨x=b یک مجموعه نمی‌باشد(معمولاً B و چنین اشیای ریاضی را کلاس یا رده می‌گویند).

پس چون بدون در نظر گرفتن اصل موضوع زوج سازی مجموعه‌ای در اختیار نداریم که با بکار گیری (S(x برای اعضای آن مجموعه B را بسازیم، تعریف اصل موضوع زوج سازی ضروری است.

در حقیقت همه اصول موضوع مجموعه ساز که در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها بیان می‌کنیم همانند اصل موضوع زوج سازی،اصل موضوع اجتماع و ... حالات کاذبی از اصل موضوع تصریح می‌باشند چرا که همه آنها وجود مجموعه‌ای را با بیان یک خاصیت بیان می‌کنند اما معلوج نمی‌باشد عضوهایی که باید در شرط صدق کنند از کجا آورده می‌شوند.

گرد آورنده:محدثه منصوبی

 

+ نوشته شده در  چهارشنبه بیست و ششم آبان 1389ساعت 23:4  توسط یک دانش آموز  | 

سوالی از نظریه احتمالات

 

مسئله پارادوکس جنسیت یکی از مسائل معروف نظریه احتمالات است که صورت آن به شرح زیر است: به طور کلی چهار ترکیب ممکن برای جنسیت فرزندان وجود دارد:

فرزند بزرگتر

فرزند کوچکتر

دختر

دختر

دختر

پسر

پسر

دختر

پسر

پسر

که آنها را به ترتیب با:

{GG, GB, BG, BB} نشان می دهیم.

1.     تعیین جنسیت هر بچه یک حادثه مستقل است.

2.     هر بچه یا پسر یا دختر است.

3.     احتمال اینکه بچه پسر باشد یا دختر برابر است.

سوال 1: یک خانواده دارای دو فرزند است و فرزند بزرگتر پسر است. احتمال اینکه فرزند کوچکتر دختر باشد چه قدر است؟

وقتی فرزند بزرگتر پسر باشد دو حالت {GG, GB} حذف می‌شوند و حالت‌های ممکن به صورت زیر در می‌آیند:

فرزند بزرگتر

فرزند کوچکتر

دختر

دختر

دختر

پسر

پسر

دختر

پسر

پسر

که سری آن به صورت {BG, BB} است.

از آنجایی که حالت‌ها هم شانس بوده و فقط در یکی از حالت‌ها دختر وجود دارد پس احتمال اینکه فرزند کوچکتر دختر باشد 1/2 است.

سوال2: بدون در نظر گرفتن حالتی که هر دو فرزند دختر باشند احتمال اینکه دو بچه دارای جنسیت مخالف هم باشند چه قدر است؟ جدول حالات در این حالت به شکل زیر در می‌آید:

فرزند بزرگتر

فرزند کوچکتر

دختر

دختر

دختر

پسر

پسر

دختر

پسر

پسر

از چهار ترکیب اولیه، سه ترکیب با شرایط مسئله هماهنگی دارند که دو تا از آنها ترکیب مد نظر هستند. پس احتمال است. ممکن است برای سوال دوم چهار حالت زیر پیشنهاد شود:

  1. پسر دارای یک برادر بزرگتر است.
  2. پسر دارای یک برادر کوچکتر است.
  3. پسر دارای یک خواهر بزرگتر است.
  4. پسر دارای یک خواهر کوچکتر است.

که به نظر می‌رسد فقط دو حالت آخر مورد نظر است و بنابراین احتمال برابر با است. اشکال این حالت گیری این است که دو حالت ۱ و ۲ در واقع یک حالت هستند. نکته‌ای که باید به آن توجه کرد این است که اگر دو برادر داشته باشیم دیگر انتخاب یکی از آنها به صورت مشخص ممکن نیست و در واقع باید بگوییم:

  1. پسری دارای یک برادر بزرگتر است.
  2. پسری دارای یک برادر کوچکتر است.

از این نوشتار مشخص است که دو گزینه هم ارز هستند. بنابر این یکی از آنها باید حذف شود.

منبع : ویکی پدیا

((کیانا))

+ نوشته شده در  چهارشنبه بیست و ششم آبان 1389ساعت 22:6  توسط یک دانش آموز  | 

ترسیم


 

رسم کردن عمود منصف یک پاره خط

 


 

رسم کردن نیمساز یک زاویه

مراحل رسم:

1. از رأس زاویه کمان دلخواهی می زنیم تا اضلاع زاویه را در دو نقطه قطع کند.

2. سوزن پرگار را روی این دو نقطه گذاشته و دو کمان می زنیم.

3. محل برخورد دو کمان را به رأس زاویه وصل می کنیم.

 


 

رسم کردن خط عمود بر یک خط با پرگار

الف) از نقطه خارج از یک خط:

سوزن پرگار را روی نقطه مفروض گذاشته، کمانی می زنیم و قسمتی از خط را به پاره خط تبدیل می کنیم سپس عمود منصف این پاره خط را رسم می کنیم.

ب) از نقطه روی یک خط:

سوزن پرگار را روی نقطه گذاشته و قسمتی از خط را به پاره خط تبدیل می کنیم و سپس عمود منصف آنرا رسم می کنیم.

(مهسا)
+ نوشته شده در  چهارشنبه نوزدهم آبان 1389ساعت 20:5  توسط یک دانش آموز  | 

 

شیما

روزى كه اينشتين رمق فكر كردن نداشت

اينشتين در نوجوانى علاقه چندانى به تحصيل نداشت. پدرش از خواندن گزارش هايى كه آموزگاران درباره پسرش مى فرستادند، رنج مى برد. گزارش ها حاكى از آن بودند كه آلبرت شاگردى كندذهن، غيرمعاشرتى و گوشه گير است. در مدرسه او را «باباى كندذهنى» لقب داده بودند. او در ۱۵ سالگى ترك تحصيل كرد، در حالى كه بعدها به خاطر تحقيقاتش جايزه نوبل گرفت!
شايد شما نيز اين جملات را خوانده يا شنيده باشيد و شايد اين پرسش نيز ذهن شما را به خود مشغول كرده باشد كه چگونه ممكن است شاگردى كه از تحصيل و مدرسه فرارى بوده است، برنده جايزه نوبل و به عقيده برخى از دانشمندان، بزرگ ترين دانشمندى شود كه تاكنون چشم به جهان گشوده است؟
با مطالعه دقيق تر زندگى اين شاگرد ديروز، پاسخ مناسبى براى اين پرسش پيدا خواهيم كرد. آلبرت بچه آرامى بود و والدينش فكر مى كردند كه كندذهن است. او خيلى دير زبان باز كرد، اما وقتى به حرف آمد، مثل بچه هاى ديگر «من من» نمى كرد و كلمه ها را در ذهنش مى ساخت. وقتى به سن چهار سالگى پاگذاشت، با بيلچه سر خواهر كوچكش را شكست و با اين كار ثابت كرد كه اگر بخواهد، مى تواند بچه ناآرامى باشد!
پدر و مادر آلبرت به بچه هاى كوچك خود استقلال مى دادند. آنان آلبرت چهارساله را تشويق مى كردند كه راهش را در خيابان هاى حومه مونيخ پيدا كند. در پنج سالگى او را به مدرسه كاتوليك ها فرستادند. آن مدرسه با شيوه اى قديمى اداره مى شد. آموزش از طريق تكرار بود. همه چيز با نظمى خشك تحميل مى شد و هيچ اشتباهى بى تنبيه نمى ماند و آلبرت از هر چيزى كه حالت زور و اجبار و جنبه اطاعت مطلق داشته باشد، متنفر بود. اغلب كسانى كه درباره تنفر اينشتين از مدرسه، معلم و تحصيل نوشته اند، به نوع مدرسه، شيوه تدريس معلم و مطالبى كه اين دانش آموز بايد فرا مى گرفت، كمتر اشاره كرده اند. بازخوانى يك واقعه مهم در زندگى اينشتين ما را با مدرسه محل تحصيل او آشناتر مى كند: روزى آلبرت مريض بود و در خانه استراحت مى كرد. پدرش به او قطب نماى كوچكى داد تا سرگرم باشد. اينشتين شيفته قطب نما شد. او قطب نما را به هر طرف كه مى چرخاند، عقربه جهت شمال را نشان مى داد. آلبرت كوچولو به جاى اين كه مثل ساير بچه ها آن را بشكند و يا خراب كند، ساعت ها و روزها و هفته ها و ماه ها به نيروى اسرارآميزى فكر مى كرد كه باعث حركت عقربه قطب نما مى شود. عموى آلبرت به او گفت كه در فضا نيروى ناديدنى (مغناطيس) وجود دارد كه عقربه را جابه جا مى كند. اين كشف تاثير عميق و ماندگارى بر او گذاشت. در آن زمان، اين پرسش براى آلبرت مطرح شد كه چرا در مدرسه، چيز جالب و هيجان انگيزى مثل قطب نما به دانش آموزان نشان نمى دهند؟! از آن به بعد، تصميم گرفت خودش چيزها را بررسى كند و به مطالعه آزاد مشغول شود. اينشتين ده ساله بود كه در دبيرستان «لويت پولت» ثبت نام كرد. در آن موقع، علاقه بسيارى به رياضى پيدا كرده بود. اين علاقه را عمويش اكوب و يك دانشجوى جوان پزشكى به نام ماكس تالمود در وى ايجاد كرده بودند. تالمود هر پنجشنبه به خانه آنان مى آمد و درباره آخرين موضوعات علمى با آلبرت حرف مى زد. عمويش نيز او را با جبر آشنا كرده بود. اينشتين در دوازده سالگى از تالمود كتابى درباره هندسه هديه گرفت. او بعدها آن كتاب را مهم ترين عامل دانشمند شدن خود عنوان كرد. با اين كه آلبرت در خانه چنين علاقه اى به رياضيات و فيزيك نشان مى داد، در دبيرستان چندان درخششى نداشت. او در نظام خشك و كسل كننده دبيرستان، علاقه اش را به علوم از دست مى داد و نمراتش كمتر و كمتر مى شدند. بيشتر معلمانش معتقد بودند كه او وقتش را تلف مى كند و چيزى ياد نمى گيرد. هرچند اينشتين به قصد اين درس مى خواند كه معلم شود نه فيزيكدان، اما از معلمان خود دل خوشى نداشت و از زورگويى آنان و حفظ كردن درس هاى دبيرستان، دل پرخونى داشت. از اين رو، خود را به مريضى زد و با اين حيله، مدتى از دبيرستان فرار كرد! چون معلم ها نيز از او دل خوشى نداشتند، شرايط را براى اخراج او از مدرسه فراهم كردند. اينشتين بعدها در اين باره گفت: «فشارى كه براى از بر كردن مطالب امتحانى بر من وارد مى آمد، چنان بود كه بعد از گذراندن هر امتحان تا يك سال تمام، رمق فكر كردن به ساده ترين مسئله علمى را نداشتم!» اينشتين بعدها مجبور شد در دبيرستان ديگرى ديپلم خود را بگيرد و سرانجام با هزار بدبختى گواهينامه معلمى را دريافت كند. بعد از آن، مدتى معلم فيزيك در يك مدرسه فنى شد، اما چون روش هاى خشك تدريس را نمى پسنديد، پيشنهادهايى در مورد تدريس به رئيس مدرسه داد كه پذيرفته نشدند و به اين ترتيب بهانه اخراج خود را فراهم كرد.اينشتين پس از اين واقعه، زندگى دانشجويى را برگزيد و پس از فارغ التحصيلى، در اداره ثبت اختراعات به كار مشغول شد. او از كار كردن در اين اداره راضى بود. عيب دستگاه هاى تازه اختراع شده را پيدا مى كرد و در ساعت ادارى، وقت كافى داشت تا به فيزيك فكر كند. در همين اداره بود كه مقاله هاى متعددى نوشت و در مجلات معتبر منتشر كرد. جالب اين كه دانشمند بزرگ كه با فرضيات خود انقلابى در جهان دانش به پا كرد، در شرايطى كار مى كرد كه براى هر دانشمند ديگرى غيرممكن بود! او نه با فيزيكدان حرفه اى تماس داشت و نه به كتاب ها و مجلات علمى مورد نياز دسترسى داشت. در فيزيك فقط به خود متكى بود و كس ديگرى را نداشت كه به او تكيه كند! اكتشافات او چنان خلاف عرف بودند كه به نظر فيزيكدانان حرفه اى، با شغلى كه او به عنوان يك كارمند جزء در دفتر ثبت اختراعات داشت، سازگار نبودند

__________________



رب اعوذ بک من همزات الشیاطین
پروردگارا از وسوسه های شیطان به تو پناه می برم.

الهی اذقنی حلاوة مناجاتک
خدایا! شیرینی مناجاتت را به من بچشان.
الهی اذقنی طعم عفوک
خدایا!مزه ی عفوت را به من بچشان
الهی وارزقنی النظر الی وجهک الکریم
خدایا!وجه گرامی ونازنینت را به من بنمایان
+ نوشته شده در  جمعه هفتم آبان 1389ساعت 20:13  توسط یک دانش آموز  | 

اثبات های بدون شرح قضیه ی فیثاغورس !!!!!!

((مریم))

+ نوشته شده در  جمعه هفتم آبان 1389ساعت 18:31  توسط یک دانش آموز  | 

نیم نگاهی به دنیای فراکتال ها !!!!!!!!!!!

 

((مریم))

برای مشاهده ی بقیه ی عکسها روی ادامه ی مطلب کلیک کنید


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه هفتم آبان 1389ساعت 18:21  توسط یک دانش آموز  | 

هنرفراکتالی 1

Fractal Art

Cool free desktop wallpaper - Nexus, digital art, fractal art, picture by Angelicus Moonchilde


Fractal Art
Fractal by longan drink

Fractal Art

 

برای مشاهده ی عکس های بیشتر به ادامه ی مطلب مراجعه کنید
شیرین


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه هفتم آبان 1389ساعت 12:45  توسط یک دانش آموز  | 

دانشمندان

ابوالوفای بوزجانی

 
بوزجانی، ریاضیدان و منجم ایرانی.

ابوالوفا محمد بوزجانی یا ابوالوفا محمد بن محمد بن یحیی بن اسماعیل بن عباس (۳۲۸-۳۸۸ هجری قمری) ریاضیدان و منجم بزرگ ایرانی است که حدود هزار سال پیش در روستای بوژگان تربت جام زاده شد.او تحصیلات ریاضی خود را نزد خانواده آموخت و در سال ۳۴۸ به عراق که در آن زمان پایتخت خلافت شرقی بود،سفر کرد و تا پایان عمرش در آنجا زندگی کرد.در عراق بصورت آخرین نمایندهٔ برجستهٔ مکتب ریاضی-نجومی در آمد و به تالیف کتاب‌های مهم خود پرداخت و با همکارانش در رصدخانهٔ بغداد به رصد مشغول شد.

او روش‌های محاسبه‌ای را که بازرگانان،کارمندان دوایر مالیه و مساحان زمین در شرق اسلامی در کارهای روزمرهٔ خود بکار می‌بردند،به نحوه منظم مدون ساخت و همچنین روش‌های متداول را اصلاح کرد و بعضی از روش‌های ناصحیح را نیز مورد انتقاد قرار داد.بعنوان مثال،پس از بیان آنکه مساحان،مساحت هر نوع چهار ضلعی را با ضرب کردن نصف مجموع اضلاع مقابل در یکدیگر بدست می‌آورند،خاطرنشان می‌سازد که این نیز اشتباهی آشکار و غلطی مسلم است.

از کتاب بوزجانی چنین بر می‌آید که دستگاه موضعی عددنویسی دهدهی هندی با استفاده از ارقام در میان مردم و تجار سرزمین‌های خلافت شرقی تا مدت‌های طولانی مورد استفاده نبوده است.او با توجه به عادت و عرف خوانندگانی که کتاب برای آنها نوشته شده،از استفاده از ارقام کاملا پرهیز کرده است و همهٔ اعداد و محاسبات را،که گاهی بسیار پیچیده است،تنها با کلمات بیان کرده است.

یکی از کتاب‌های علمی بوزجانی کتاب "فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه" است،که بعد از سال ۳۷۹ نوشته شده است.بسیاری از روش‌های ساختن اشکال دوبعدی و سه‌بعدی که بوزجانی عرضه کرده،اقتباس است از آنچه در آثار اقلیدس،ارشمیدس،هرون اسکندری،تئودوسیوس و پاپوس آمده بوده است،اما بعضی از مثال‌ها ابتکاری است.در این اثر بوزجانی،مسائلی نیز راجع به تقسیم یک شکل به اجزایی که شرایط معینی را واجد باشند،آمده است.

اثر نجومی بزرگ بوزجانی "المجسطی" یا "الکامل" بسیار دنباله‌روی مجسطی بطلمیوس است.ممکن است این اثر که فقط بخشی از آن بجای مانده است،دقیقا همان "زیج‌الواضع" او یا جزئی از آن باشد که بر رصدهای خود و همکارانش مبتنی است.بنظر نمی‌اید که زیج باقی مانده باشد.

قبل از بوزجانی،در مثلثات کروی،تنها وسیلهٔ حل مثلث‌ها قضیهٔ منلائوس راجع به چهارضلعی کامل بود که در کتب اسلامی به قاعدهٔ مقادیر ششگانه موسوم است.کاربرد این قضیه در حالت‌های مختلف بسیار دست و پا گیر است.بوزجانی با غنی‌تر ساختن ابزار مثلثات کروی،حل مسائل آنها را راحت‌تر کرد.وی قضیهٔ تانژانت‌ها را در حل مثلث قائم‌الزاویهٔ کروی بکار بست و تقدم در اثبات را بیرونی به وی نسبت داده است.یکی از اولین اثبات‌های قضیهٔ کلی سینوس‌ها برای حل مثلث‌های غیر قائم الزاویه،توسط بوزجانی ابداع گردید.برای تجلیل از بوزجانی،دهانهٔ یکی از آتشفشان‌های ماه بنام او نام‌گذاری شده است.

وی مسائل لاینحل هندسه کلاسیک را حل کرد و تحقیقاتی در اصول ترسیمات هندسی نمود که تا امروز هنوز کسی موفق به ارائه راه حل دیگری نشده‌است و از این حیث مسئله ابوالوفا در جهان مشهور است و اولین کسی است که مطالعات دقیقی درباره کره ماه انجام داد
کارهای وی در زمینه هندسه کروی با کاربرد در نجوم کروی شگرف بوده‌است.


در سال ۱۳۷۸ همایشی بین‌المللی به منظور شناخت بیشتر وی و خدمات و آثارش در محل تولدش، تربت جام برگزار گردید

 ریاضیات

ابوالوفای بوزجانی واضع اتحاد مثلثاتی بود:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 − 2sin2(a)
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

وی هم‌چنین قانون سینوس‌ها را برای مثلثات کروی کشف کرد:

\frac{\sin(A)}{\sin(a)} = \frac{\sin(B)}{\sin(b)} = \frac{\sin(C)}{\sin(c)}

 

شیرین

+ نوشته شده در  چهارشنبه پنجم آبان 1389ساعت 23:30  توسط یک دانش آموز  |